順序集合としてのお好み焼き

はじめに

今日逆求人のしおみさん (@NaitoShiomi) | Twitterさんが来訪されお話の後にしおみさんを含む10人でお好み焼き屋に行った．
そのお好み焼き屋で，後輩であるレアン君が「お好み焼きって半順序？」なる発言（曖昧さを含む）をしてほんの少し話題に上がった．しかしあくまでたかが話の種の一つで終わったため改めて考えた次第である．

順序集合

ここでは前順序集合・半順序集合・全順序集合に関して述べるがまず以下に順序集合に関する性質について述べる．
$P$ は集合であり， $\leq$ は集合 $P$ 上で定義された二項関係である． $\forall a,b,c\in P$ に関して

反射律
$a \leq a$
推移律
$a \leq b \wedge b \leq c \to a \leq c$
反対称律
$a \leq b \wedge b \leq a \to a = b$
比較可能*1
$a \leq b \vee b \leq a$

という性質がある．この時

前順序集合
二項関係 $\leq$ が反射律と推移律を満たす $(P, \leq)$ ．
半順序集合
二項関係 $\leq$ が反射律と推移律と反対称律を満たす $(P, \leq)$ ．
全順序集合
二項関係 $\leq$ が反射律と推移律と反対称律を満たし比較可能である $(P, \leq)$ ．

である．

お好み焼き

お好み焼きには様々な種類がある．食材の数を考慮するとお好み焼きの種類全体の集合は有限集合となる．お好み焼きの種類として

豚焼き
豚
豚玉焼き
豚，卵
イカ焼き
イカ
すじ焼き
牛すじ

などが存在する．関西風お好み焼き，モダン焼き，広島焼きなど様々な種類のお好み焼きが存在する*2が簡単のためここでは関西風お好み焼きのみを扱い，具材によって区別がなされるとする．

定義

お好み焼き

モダン焼きや広島焼きを含まない関西風お好み焼き全体の集合を $P$ とする．また以下においてお好み焼きとある場合は関西風お好み焼きを指す．
また具材の無いお好み焼きは小麦粉と水，生地としての卵，キャベツから成るものとし，生地としての卵と具材としての卵は区別されるものとする．

元

お好み焼き全体の集合 $P$ の元は豚焼き，豚玉焼きなどと言った一般に店舗で販売もしくは家庭で調理されるお好み焼きであり，具材によって区別される．

二項関係

価格は店舗毎に異なる可能性があるため適切ではない．
重量（や具材の量等）は同様の理由で適切ではない．
具材の種類の数は元のみに依存し，店舗に依らず一定である．
また具材の種類は明らかに区別されるべきである．

そのため二項関係 $\leq$ は具材全体の集合の冪集合の包含関係の順序とする．

例として，ここで簡単のため具材全体の集合は豚・卵・イカという元から成るとした時具材の冪集合を考えると

$\left\{\emptyset, \left\{豚\right\}, \left\{卵\right\}, \left\{イカ\right\}, \left\{豚,卵\right\}, \left\{豚,イカ\right\}, \left\{卵,イカ\right\}, \left\{豚,卵,イカ\right\} \right\}$

となる．それっぽくなった．ところで具材が $\emptyset$ ということは，つまり，悲しいかな，それは小麦粉と水，生地としての卵，キャベツでできたものだ．豚焼きですらない．
この時お好み焼きは，具無し，豚焼き，玉焼き，イカ焼き，豚玉焼き，豚イカ焼き，イカ玉焼き，豚イカ玉焼きとなる．私は店頭で豚イカ玉焼きを見たことはないが，まあ存在するだろう，多分．無ければ作ればいい．味の保障はしないが．

具材は豚・卵・イカとし， $P$ の元として具無し，豚焼き，玉焼き，イカ焼き，豚玉焼き，豚イカ焼き，イカ玉焼き，豚イカ玉焼きを考える．
ある集合の冪集合は包含関係を順序と見なすと半順序となるため，ここでは比較可能かを確認する．

比較可能

例えば $\left\{豚, 卵\right\}$ と $\left\{イカ, 卵\right\}$ は比較不能である．

結論

お好み焼き全体の集合 $P$ 上の二項関係 $\leq$ を具材全体の集合の冪集合の包含関係の順序とすると $(P, \leq)$ は半順序集合である．

*1:Comparability - Wikipedia, the free encyclopedia

*2:お好み焼き - Wikipedia