楕円を経路とする複素積分を2通りに解釈して式を導出しろという問題

はじめに

Cauchyの積分公式のapplicationとして,パラメータの取り方によってnon-trivialな結果が得られることがある.それの例を示す.
2年次開講科目の演習時間に解いてので纏めた次第である.

問題

曲線 Cを楕円 \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1を正方向に1周するとし \displaystyle \int_C \frac{dz}zを2通りに解釈して
\begin{align}
\int_0^{2\pi}\frac{dt}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}=\frac{2\pi}{ab}
\end{align}
を示せ.

証明

1. 線積分

楕円をパラメータ表示すると
\begin{align}
\begin{cases}
x=a\cos\theta\\
y=b\sin\theta
\end{cases}
\end{align}
また
\begin{align}
z&=x+iy=a\cos\theta+ib\sin\theta \\
dz&=(-a\sin\theta+ib\cos\theta)d\theta
\end{align}
従って,楕円を1周するため積分範囲は \theta:0\to2\piであり,
\begin{align}
\int_C \frac{dz}z&=\int_0^{2\pi}\frac{-a\sin\theta+ib\cos\theta}{a\cos\theta+ib\sin\theta}d\theta\\
&=\int_0^{2\pi}\frac{-a^2\sin\theta\cos\theta+abi+b^2\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta\\
&=\int_0^{2\pi}\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta+\int_0^{2\pi}\frac{abi}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta\\
&=\int_0^{2\pi}\frac{abi}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta\cdots(*)
\end{align}

2. Cauchyの積分公式

 f(z)=1とせよ.
\begin{align}
f(0)=\frac1{2\pi i}\int_C\frac{dz}z\Leftrightarrow2\pi i=\int_C\frac{dz}z\cdots (**)
\end{align}

従って (*),(**)より
\begin{align}
\int_0^{2\pi}\frac{dt}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}=\frac{2\pi}{ab}
\end{align}
示された.

3. 途中省いた証明

\begin{align}
\int_0^{2\pi}\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta=0
\end{align}
を示す.
\begin{align}
\int_0^{2\pi}\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta&=
\int_0^{\pi}\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta+\int_{\pi}^{2\pi}\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta
\end{align}
ここで第2項で
\begin{align}
\phi&=2\pi-\theta \\
d\phi&=-d\theta
\end{align}
すると積分範囲は \phi:\pi\to0
\begin{align}
\sin\phi&=\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta\\
\cos\phi&=\cos(2\pi-\theta)=\cos\theta\\
\sin^2\phi&=\sin^2(2\pi-\theta)=\sin^2\theta\\
\cos^2\phi&=\cos^2(2\pi-\theta)=\cos^2\theta
\end{align}
従って
\begin{align}
(左辺)&=
\int_0^{\pi}\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta+\int_{\pi}^{0}\frac{(b^2-a^2)\sin\phi\cos\phi}{a^2\cos^2\phi+b^2\sin^2\phi}d\phi\\
&=\int_0^{\pi}\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta-\int_{0}^{\pi}\frac{(b^2-a^2)\sin\phi\cos\phi}{a^2\cos^2\phi+b^2\sin^2\phi}d\phi\\
&=0
\end{align}