C1-級である正則行列のdetの微分

はじめに

ブログのネタがないので.計算するだけなのだけれど.

主張

 A:[0,T]\to\mathbb{R}^{d\times d}:$C^{1}$-級,正則行列とする.
この時次が成り立つ: \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\det A(t)=\mathrm{tr}\left(A^{-1}(t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A(t)\right) \det A(t). \end{align}

証明

$A$のTaylor展開を考えると \begin{align} A(t+h)=A(t)+h\frac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t}+o(h) \end{align} となる.但し$A$は$C^{2}$-級ではないので剰余項の部分が$O(h^{2})$ではなく$o(h)$となっていることに注意.
故に \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\det A(t)&=\lim_{h\to0}\frac{\det A(t+h)-\det A(t)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{\det \left(A(t)+h\frac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t}+o(h)\right)-\det A(t)}{h}\\ &=\det A(t)\lim_{h\to0}\frac{\det \left(I_{\mathbb{R}^{d}}+h\left(A^{-1}(t)\frac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t}+h^{-1}A^{-1}(t)o(h)\right)\right)-1}{h}\\ &=\det A(t)\lim_{h\to0}\left(\mathrm{tr} \left(A^{-1}(t)\frac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t}+h^{-1}A^{-1}(t)o(h)\right)+\frac{O(h^2)}{h}\right)\\ &=\det A(t)\ \mathrm{tr} \left(A^{-1}(t)\frac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t}\right) \end{align} となるので成り立つ.
但し$\varepsilon$が十分小さいとして \begin{align} \det\left(I_{\mathbb{R}^{d}}+\varepsilon B\right)=1+\varepsilon\ \mathrm{tr}\ B+O(\varepsilon^2) \end{align} を利用した(少し計算すれば出る).具体的に$B$が$2\times2$-行列の時 \begin{align} \det\left(I_{\mathbb{R}^{2}}+\varepsilon B\right)=1+\varepsilon\ \mathrm{tr}\ B+\varepsilon^2\det B \end{align} である.

おまけ

相も変わらずはてなブログの数式モードは癖が激しくて疲れたので雑な部分とか誤字があるかもしれません.

主張のstatementを少し変えて,$A$が$C^1$かつ,連続な$C:[0,T]\to\mathbb{R}^{d\times d}$を用いて$t\leq T$に対し \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} A(t)=C(t)A(t) \end{align} 成る時 \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\det A(t)=\mathrm{tr}\ C(t)\det A(t) \end{align} が成り立つ.
証明は摂動を考えてやれば良い.
つまりは$\lambda>0$を$A$の固有値でも$0$でもないとして,$A$を正則行列$A+\lambda I_{\mathbb{R}^{d}}$として計算して$\lambda\downarrow0$とする.

行列の微分はちょっと気を付けなければいけないことがあって,例えば逆行列微分を考えてみる.
$A$を$C^1$で正則な行列とすれば \begin{align} AA^{-1}=I_{\mathbb{R}^{d}} \end{align} より \begin{align} \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}A^{-1}+A\frac{\mathrm{d}A^{-1}}{\mathrm{d}t}=0 \end{align} となる.すなわち \begin{align} \frac{\mathrm{d}A^{-1}}{\mathrm{d}t}=-A^{-1}\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}A^{-1} \end{align} 成る.

おわりに

行列の摂動 (シュプリンガー数学クラシックス)

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名著です.