右連続な確率過程のsupを非可算集合の範囲で取っても可測

はじめに

タイトルどう書けばいいんかわかんない.

可測関数列 f_nに対して \displaystyle\limsup_{n\to\infty}f_n\displaystyle \sup_{n\in\mathbb{N}}f_nが可測になることはLebesgue積分の講義で学ぶことである.
ここで\limsupなどは可算集合\mathbb{N}上で動かしている.
これの動かす範囲が非可算集合[0,t]上でも右連続ならば同様のことが言えることを示す.

出典というかは谷口説男「確率微分方程式」のDoobの不等式の証明の時に問題になったので,それ.一応脚注で測度論的言葉でも書いておいた.

notationと仮定

  • $(\Omega, \mathcal{F})$:可測空間
  • X_t:\Omega\to\mathbb{R}:確率変数*1
  • \left\{X_t\right\}_{t\in[0,\infty)}:右連続*2な確率過程*3
  • $\{\mathcal{F}_t\}_{t\in[0,\infty)}$:filtration*4
  • $\{X_t\}$は$\mathcal{F}_t$-適合*5

定理

$\displaystyle\sup_{s\in[0,t]}X_s$は\mathcal{F}_t-可測.

証明

\begin{align} \sup_{s\in[0,t]}X_s(\omega)=\limsup_{n\to\infty}\max_{0\leq k\leq n}X_{\frac{kt}{n}}(\omega) \end{align}

が成り立つ.右辺は明らかに可測なので左辺も可測である.あとは等式が成り立つことが言えれば良い.
$\lambda>0$を任意に取って \begin{align} \left\{\sup_{s\in[0,t]}X_s>\lambda\right\}=\left\{\limsup_{n\to\infty}\max_{0\leq k\leq n}X_{\frac{kt}{n}}>\lambda\right\} \end{align} を言えば良い.*6

  1. $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\max_{0\leq k\leq n}X_{\frac{kt}{n}}>\lambda$とする. \begin{align} a_n:=\max_{0\leq k\leq n}X_{\frac{kt}{n}} \end{align} と置くと \begin{align} \limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\sup_{n\leq k}a_k \end{align} である.
    $\displaystyle\sup_{n\leq k}a_k>\lambda$なので$\displaystyle\exists k_0\geq n\hspace{1em}\textrm{s.t.}\hspace{1em}a_{k_0}>\lambda$である.
    $\displaystyle a_{k_0}=\max_{0\leq k\leq k_0}X_{\frac{kt}{n}}>\lambda$なので \begin{align} \sup_{s\in[0,t]}X_s>a_{k_0}>\lambda \end{align}
  2. $\displaystyle\sup_{s\in[0,t]}X_s>\lambda$とする.
    (一般論として$\sup a_n=\alpha$とすると \begin{align} \forall\lambda\in(0,\alpha):\exists n_0\in\mathbb{N}\hspace{1em}\textrm{s.t.}\hspace{1em}\lambda<a_{n_0}\le \alpha \end{align} である.)
    $\sup$の定義から \begin{align} \forall\lambda\in\left(0,\sup_{s\in[0,t]}X_s \right):\exists s_0\in[0,t]\hspace{1em}\textrm{s.t.}\hspace{1em}\lambda<X_{s_0}\leq\sup_{s\in[0,t]}X_s \end{align} が成り立つ.
    $\{X_s\}$は右連続なので$s_0\in[0,t]$で右連続.故に \begin{align} \left|X_{s_0}-X_s\right|<\varepsilon\hspace{1em}(s_0\leq s<s_0+\delta) \end{align} であり,故に \begin{align} \forall\varepsilon>0:\exists\delta>0\hspace{1em}\textrm{s.t.}\hspace{1em}0\leq s-s_0<\delta\Rightarrow|X_{s_0}-X_s|<\varepsilon \end{align} $\varepsilon=X_{s_0}-\lambda>0$とすると,$X_{s_0}>X_s$に注意すれば \begin{align} X_{s_0}-X_s&<X_{s_0}-\lambda \end{align} なので \begin{align} \exists s\in t\mathbb{Q}\hspace{1em}\textrm{s.t.}\hspace{1em}X_s>\lambda \end{align} が成り立つ.故に$\displaystyle\exists k,n\in\mathbb{N}\hspace{1em}\textrm{s.t.}\hspace{1em}\frac{kt}{n}=s$が成り立ち,またこのような$k$と$n$は,$k$を$mk$としたら$n$を$mn$として可算個存在するのは明らか.
    故に \begin{align} \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\max_{0\leq k\leq n}X_{\frac{kt}{n}}>\lambda \end{align}

1.2.より成り立つ.

おわりに

等号が成り立つことが自明じゃない話.

*1:可測関数

*2:\left\{X_t\right\}_{t\in[0,\infty)}が右連続とは任意の$\omega\in\Omega$に対して写像$[0,\infty)\ni t\mapsto X_t(\omega)\in\mathbb{R}$が右連続となる時を言う.

*3:可測関数列

*4:\mathcal{F}_t\subset\mathcal{F}の列$\{\mathcal{F}_t\}_{t\in[0,\infty)}$がfiltrationとは$s\leq t\Rightarrow\mathcal{F}_s\subset\mathcal{F}_t$が成り立つ時を言う.

*5:$\{X_t\}$が$\mathcal{F}_t$-適合とは任意の$t\in[0,\infty)$に対して$X_t$は$\mathcal{F}_t$-可測である時を言う.

*6:$\omega\in\Omega$に関する命題$P(\omega)$について$\{P\}$とは勿論$\{\omega\in\Omega|P(\omega)\}$のことである.