positiveな線型汎函数が可算加法性を持つことの必要十分条件

はじめに

B4ゼミを3人で行っているのだが,内1人が教育実習に行っていた間は2人でGamma Function/Emil ArtinとAn Introduction to Probability Theory and Its Applications/William Fellerの輪講をしていた.
後者の本で注釈に書かれていた証明のgapが激しかったのでブログに残したいと思った次第である.

この命題はAn Introduction to Probability Theory and Its ApplicationsのCHAPTER IV Probability Measures and Spaces 5. THE EXTENSION THEOREMの式(5.4)及び式(5.5)の同値性を言うものである.
注釈15にある証明の概略は文字の置き方だけを記している.

命題

notation

  • $E$:線型汎函数
  • $\mathfrak{B}_{0}$:関数のクラスであり,線形結合及び$\cap$,$\cup$に関して閉じている.即ち
     \alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{K},u_1, u_2\in\mathfrak{B}_{0}\Rightarrow\alpha_1 u_1+\alpha_2 u_2\in \mathfrak{B}_{0}, u_1\cap u_2\in\mathfrak{B}_{0},u_1\cup u_2\in\mathfrak{B}_{0}
  • $E$がpositive \underset{\textrm{def}}{\Leftrightarrow} u\geq 0\Rightarrow E(u)\geq0

但し$u_1\cap u_2=\inf (u_1,u_2),u_1\cup u_2=\sup (u_1,u_2)$であり,以降$E$はpositiveとする.

命題

\begin{align} E\left(\sum_{k=1}^\infty u_k \right) = \sum_{k=1}^\infty E\left(u_{k}\right) \Leftrightarrow E\left(v_{n}\right)\to 0 \textrm{ where }\mathfrak{B}_{0}\ni v_{n}\underset{\textrm{mono.}}{\to} 0 \end{align} 但し$v_n\underset{\textrm{mono.}}{\to}0$は単調収束を示す.

証明

$u_k\geq0,v_k\geq0$の場合に示せば十分であるのでそのように仮定する.

  1. $[\Rightarrow]$
    $u_k:=v_k-v_{k+1}$と置く.
    $m\geq n$とすると \begin{align} \sum_{k=n}^m u_k(x)&=v_n(x)-v_m(x)\\ &\to v_n(x)\ (m\to\infty) \end{align} 特に$n=1$として \begin{align} \sum_{k=1}^\infty u_k(x)=v_1(x) \end{align} となる.
    ここで \begin{align} \sum_{k=n}^\infty u_k(x)=v_n(x) \end{align} であるので,仮定より \begin{align} E\left(v_n\right)&=\sum_{k=n}^\infty E\left(u_k\right)\\ &=\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m E\left(u_k\right)-\sum_{k=1}^{n-1} E\left(u_k\right)\\ &\to0\ (n\to\infty) \end{align} 従って$E\left(v_n\right)\to0\ (n\to\infty)$であるので \begin{align} \sum_{k=1}^\infty E\left(u_{k}\right)&=E\left(\sum_{k=1}^\infty u_k \right)\\ &=E\left(v_1\right)\\ &<\infty\ (\because v_1\in\mathfrak{B}_{0} \end{align} 従って\displaystyle \sum_{k=1}^\infty E\left(u_{k}\right)が存在する.

  2. $[\Leftarrow]$
    2.1. 可算加法性
    $v_n:=u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots$と置く.
    $v_n$の定義より \begin{align} E\left(\sum_{i=1}^\infty u_i \right)&=E\left(v_0\right)\\ &=\sum_{i=1}^\infty\left(E\left(v_{i-1}\right)-E\left(v_i\right)\right)\\ &=\sum_{i=1}^\infty E\left(v_{i-1}-v_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^\infty E\left(u_i\right) \end{align} 最後の等式は \begin{align} v_0&=u_1+u_2+u_3+\cdots\\ v_1&=u_2+u_3+\cdots\\ &\vdots \end{align} より \begin{align} u_1&=v_0-v_1\\ u_2&=v_1-v_2\\ &\vdots \end{align} から出る.
    2.2. $\{v_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathfrak{B}_{0}$
    仮定及び$\mathfrak{B}_{0}$の定義から \begin{align} v_0&=\sum_{i=1}^\infty u_i\in\mathfrak{B}_{0}\\ v_1&=\sum_{i=2}^\infty u_i\\ &=v_0-u_1\in\mathfrak{B}_{0}\\ &\vdots \end{align} を考えると$v_n\in\mathfrak{B}_{0}\ (\forall n)$である($u_i=v_{i-1}-v_i$).
    2.3. $v_n(x)\underset{\textrm{mono.}}{\to}0\ (n\to\infty)$
    $m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$を取る. \begin{align} \sum_{i=1}^m u_i(x)&=v_0(x)-v_m(x)\\ \sum_{i=1}^\infty u_i(x)&=v_0(x) \end{align} であるので \begin{align} \sum_{i=1}^\infty u_i(x)-\sum_{i=1}^m u_i(x)&=v_m(x)\\ \sum_{i=1}^\infty u_i(x)-\sum_{i=1}^m u_i(x)&\to0\ (m\to\infty) \end{align} より$v_m(x)\to0\ (m\to\infty)$.
    $\forall k\colon u_k\geq0$なので単調収束.

  3. $u_k\geq0,v_k\geq0$のみで十分であったこと.
    一般の$u$に対して
    \begin{align} u&=u^+-u^-\\
    u_k&=u_k^+-u_k^- \end{align} と置く. \begin{align} E\left(\sum_{k=1}^\infty u_k \right)&=E\left(\sum_{k=1}^\infty \left(u_k^+-u_k^- \right)\right)\\ &=E\left(\sum_{k=1}^\infty u_k^+-\sum_{k=1}^\infty u_k^- \right)\\ &=E\left(\sum_{k=1}^\infty u_k^+\right)-E\left(\sum_{k=1}^\infty u_k^- \right)\\ &=\sum_{k=1}^\infty E\left(u_k^+\right)-\sum_{k=1}^\infty E\left(u_k^- \right)\\ &=\sum_{k=1}^\infty \left(E\left(u_k^+\right)-E\left(u_k^- \right)\right)\\ &=\sum_{k=1}^\infty \left(E\left(u_k^+-u_k^- \right)\right)\\ &=\sum_{k=1}^\infty \left(E(u_k)\right) \end{align} 従って一般の場合でも成り立つ.

おわりに

僕はこの証明がぐだぐだで先生にボコられました.おわり.

2016/09/08 証明の1.で$\infty$とするところをmとしていたのを修正