楕円を経路とする複素積分を2通りに解釈して式を導出しろという問題

はじめに

Cauchyの積分公式のapplicationとして，パラメータの取り方によってnon-trivialな結果が得られることがある．それの例を示す．
2年次開講科目の演習時間に解いてので纏めた次第である．

問題

曲線を楕円を正方向に1周するとしを2通りに解釈して
\begin{align}
\int_0^{2\pi}\frac{dt}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}=\frac{2\pi}{ab}
\end{align}
を示せ．